Use a regra da cadeia, caso 1 , para determinar d zd t das seguintes funções:
z=x^2 y+x y^2, quando x=2+t^4 e y=1+t^3

Passo 1

Vamos resumir o que temos: a função é z(x,y)=x²y+xy² com x e y variando em t segundo x=2+t⁴ e y=1+t³. O que precisamos aqui é usar a regra da cadeia (caso 1) para achar dz/dt.

Passo 2

Quando z depende de duas variáveis x e y, que por sua vez dependem de t, a derivada total é dado por:
dzdt=partial zpartial xdxdt+partial zpartial ydydt

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais de z em relação a x e y. Primeiro:
partial zpartial x=partialpartial x(x^2y+xy^2)=2xy+y^2
partial zpartial y=partialpartial y(x^2y+xy^2)=x^2+2xy

Passo 4

Em seguida, derivamos x(t) e y(t):
dxdt=ddt(2+t^4)=4t^3,
dydt=ddt(1+t^3)=3t^2

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula da regra da cadeia e montamos a expressão em termos de x, y e t:
dzdt=(2xy+y^2)cdot4t^3+(x^2+2xy)cdot3t^2

Passo 6

Por fim, substituímos x=2+t^4 e y=1+t^3 e simplificamos os termos. O resultado fica:
dzdt=24t^2+20t^3+12t^5+42t^6+8t^7+10t^9+11t^10

Resposta

dzdt=24t^2+20t^3+12t^5+42t^6+8t^7+10t^9+11t^10

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