Determine fx(x, y) e fy(x, y) das seguintes funções:
f(x, y)=2 x^3 y^2x^4+y

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais partial f/partial x e partial f/partial y de
f(x,y)=2x^3y^2x^4+y
Vamos usar a regra do quociente: se u=u(x,y) e v=v(x,y), então
partialpartial x!l(tfracuvr) =ux,v - u,vxv^2, partialpartial y!l(tfracuvr) =uy,v - u,vyv^2
Aqui definimos u(x,y)=2x^3y^2 e v(x,y)=x^4+y.

Passo 2

Calculamos primeiro partial f/partial x.
Derivadas parciais de u e v em relação a x:
ux = partialpartial x(2x^3y^2) = 6x^2y^2, vx = partialpartial x(x^4+y) = 4x^3
Aplicando a regra do quociente:
fx = (6x^2y^2)(x^4+y) - (2x^3y^2)(4x^3)(x^4+y)^2 = 6x^6y^2 + 6x^2y^3 - 8x^6y^2(x^4+y)^2 = -2x^6y^2 + 6x^2y^3(x^4+y)^2 = 2x^2y^2(-x^4 + 3y)(x^4+y)^2

Passo 3

Agora calculamos partial f/partial y.
Derivadas parciais de u e v em relação a y:
uy = partialpartial y(2x^3y^2) = 4x^3y, vy = partialpartial y(x^4+y) = 1
Pela regra do quociente:
fy = (4x^3y)(x^4+y) - (2x^3y^2)cdot1(x^4+y)^2 = 4x^7y + 4x^3y^2 - 2x^3y^2(x^4+y)^2 = 4x^7y + 2x^3y^2(x^4+y)^2 = 2x^3y(2x^4 + y)(x^4+y)^2

Resposta

fx(x,y) = 2x^2y^2(-x^4 + 3y)(x^4+y)^2, fy(x,y) = 2x^3y(2x^4 + y)(x^4+y)^2

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