Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de uma função vetorial composta por três componentes: , e , no intervalo de até . Vamos usar conceitos de cálculo integral e integrais de funções vetoriais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que integrar uma função vetorial é o mesmo que integrar cada uma das suas componentes separadamente. Ou seja, vamos calcular a integral de em frente ao vetor , a integral de em frente ao vetor e a integral de em frente ao vetor .
Passo 3
Vamos começar com a componente . A integral de em relação a é:
Passo 4
Agora, vamos para a componente . A integral de em relação a é:
Passo 5
Por último, temos a componente . A integral de em relação a é:
Passo 6
Agora que temos as integrais de cada componente, precisamos avaliar essas expressões no intervalo de até . Isso significa substituir e em cada expressão e calcular a diferença.
Passo 7
Para a componente :
Para a componente j:
t^22 |0^1 = (1)^22 - (0)^22 = 12 - 0 = 12
Para a componente k:
-2 t^4 |0^1 = -2(1)^4 - (-2)(0)^4 = -2 - 0 = -2
Resposta
A integral integral0^1(6 t^2 i+t j-8 t^3 k) d t é igual a 2 i + 12 j - 2 k.