Calcule a integral
integral0^1(6 t^2 i+t j-8 t^3 k) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de uma função vetorial composta por três componentes: 6 t^2 i, t j e -8 t^3 k, no intervalo de t = 0 até t = 1. Vamos usar conceitos de cálculo integral e integrais de funções vetoriais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que integrar uma função vetorial é o mesmo que integrar cada uma das suas componentes separadamente. Ou seja, vamos calcular a integral de 6 t^2 em frente ao vetor i, a integral de t em frente ao vetor j e a integral de -8 t^3 em frente ao vetor k.

Passo 3

Vamos começar com a componente 6 t^2 i. A integral de 6 t^2 em relação a t é:
integral 6 t^2 dt = 6 cdot t^33 = 2 t^3

Passo 4

Agora, vamos para a componente t j. A integral de t em relação a t é:
integral t dt = t^22

Passo 5

Por último, temos a componente -8 t^3 k. A integral de -8 t^3 em relação a t é:
integral -8 t^3 dt = -8 cdot t^44 = -2 t^4

Passo 6

Agora que temos as integrais de cada componente, precisamos avaliar essas expressões no intervalo de t = 0 até t = 1. Isso significa substituir t = 1 e t = 0 em cada expressão e calcular a diferença.

Passo 7

Para a componente i:
2 t^3 |0^1 = 2(1)^3 - 2(0)^3 = 2 - 0 = 2
Para a componente j:
t^22 |0^1 = (1)^22 - (0)^22 = 12 - 0 = 12
Para a componente k:
-2 t^4 |0^1 = -2(1)^4 - (-2)(0)^4 = -2 - 0 = -2

Resposta

A integral integral0^1(6 t^2 i+t j-8 t^3 k) d t é igual a 2 i + 12 j - 2 k.

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