Determine a equação do plano:
Que passa pelo ponto (1,-1,1) e é paralelo ao plano 5 x-y-z=6.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto (1, -1, 1) e é paralelo ao plano dado pela equação 5x - y - z = 6. Para isso, vamos precisar entender sobre equações de planos e o que significa que dois planos são paralelos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de um plano é dada por:
Ax + By + Cz + D = 0
Aqui, A, B e C são os coeficientes que formam o vetor normal ao plano.

Passo 3

No plano dado 5x - y - z = 6, os coeficientes de x, y e z são 5, -1 e -1, respectivamente. Isso significa que o vetor normal desse plano é n = (5, -1, -1).

Passo 4

Como queremos um plano que seja paralelo a esse, ele precisa ter o mesmo vetor normal. Ou seja, o nosso plano também terá o vetor normal n = (5, -1, -1).

Passo 5

Agora, sabemos que a equação do nosso plano vai ter a forma:
5x - y - z + D = 0
Nos falta descobrir o valor de D.

Passo 6

Para encontrar D, vamos usar o ponto pelo qual o plano passa, que é (1, -1, 1). Vamos substituir esses valores de x, y e z na equação do plano:
5(1) - (-1) - (1) + D = 0

Passo 7

Fazendo as contas:
5 + 1 - 1 + D = 0 5 + D = 0
Portanto, D = -5.

Resposta

A equação do plano desejado é:
5x - y - z - 5 = 0

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