Resolva utilizando frações parciais
integral 2 x+12 x^2+3 x-2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral 2x+12x^2+3x-2,dx
usando frações parciais. O conteúdo é técnicas de integração de funções racionais, que envolve:
  1. fatorar o denominador,
  2. decompor em frações parciais,
  3. integrar cada termo simples (logaritmos).

Passo 2

Primeiro a gente fatora o denominador:
2x^2+3x-2 = (2x-1)(x+2)
Então propomos a decomposição
2x+12x^2+3x-2 = A2x-1 + Bx+2
Multiplicando pelos fatores do denominador, obtemos
2x+1 = A(x+2) + B(2x-1)

Passo 3

Expandindo o lado direito dá
Comparando coeficientes de
Resolvendo, de . Substituindo em :
e então

Passo 4

Reescrevendo a integral com esses valores:
integral 2x+12x^2+3x-2,dx = integrall(tfrac45,12x-1 + tfrac35,1x+2r),dx
Isso se separa em
tfrac45integral dx2x-1 + tfrac35integral dxx+2
Sabendo que integral dx2x-1 = tfrac12lnlvert2x-1rvert e integral dxx+2 = lnlvert x+2rvert, concluímos
integral 2x+12x^2+3x-2,dx = tfrac45cdottfrac12lnlvert2x-1rvert + tfrac35lnlvert x+2rvert + C
Simplificando o coeficiente do primeiro logaritmo, fica

Resposta

integral 2x+12x^2+3x-2,dx = 25lnllvert2x-1rrvert + 35lnllvert x+2rrvert + C

Exercícios relacionados