Calcule a integral.
integral2^3 d x(x^2-1)^3 / 2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral2^3dxl(x^2-1r)^3/2,
que envolve uma função do tipo l(x^2-1r)^-3/2. Vamos usar técnicas de integração por reconhecimento de derivada de função composta, ou seja, encontrar uma primitiva simples e depois avaliar nos limites.

Passo 2

Observamos que uma boa candidata à primitiva é
F(x)=-xraizx^2-1,
pois, diferenciando-a, temos
F'(x) =-ddxl(x(x^2-1)^1/2r) =-(x^2-1)^1/2-xcdotx(x^2-1)^1/2x^2-1 =-(x^2-1)-x^2(x^2-1)^3/2 =1(x^2-1)^3/2
Logo,
integraldx(x^2-1)^3/2 =-xraizx^2-1+C

Passo 3

Aplicando a primitiva nos limites de 2 a 3, obtemos
integral2^3dx(x^2-1)^3/2 =[-xraizx^2-1]2^3 =-3raiz9-1-l(-2raiz4-1r) =-3raiz8+2raiz3

Passo 4

Podemos simplificar cada termo:
3raiz8=32raiz2,
logo o resultado fica
2raiz3-32raiz2

Resposta

2raiz3 ;-;32raiz2

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