Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral
usando a substituição trigonométrica indicada, que é
. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais, especificamente utilizando substituições trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essa substituição e como lidar com as expressões resultantes.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição sugerida:
. Isso significa que estamos expressando
em termos de
usando a função seno. Agora, vamos derivar
em termos de
para encontrar
:
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na integral original:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Passo 4
Substituindo de volta na integral simplificada:
Passo 5
Vamos simplificar a fração usando identidades trigonométricas. Sabemos que
, mas nesse caso, é mais útil lembrar que
. Então:
Portanto, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar
. Sabemos que:
Então, a integral fica:
Sabemos que:
Portanto:
Passo 7
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Lembrando que fizemos a substituição
, podemos desenhar um triângulo retângulo para relacionar
e
.
No triângulo retângulo:
- O cateto oposto a
é - A hipotenusa é
- O cateto adjacente é
Então, temos:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão que obtivemos:
Resposta
A integral
é igual a:
Onde
é a constante de integração.