Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado.
integral raiz2-x^2x^2 d x x=raiz2 sen theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral integral raiz2 - x^2x^2 dx usando a substituição trigonométrica indicada, que é x = raiz2 sin theta. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais, especificamente utilizando substituições trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essa substituição e como lidar com as expressões resultantes.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição sugerida: x = raiz2 sin theta. Isso significa que estamos expressando x em termos de theta usando a função seno. Agora, vamos derivar x em termos de theta para encontrar dx:
dx = raiz2 cos theta dtheta

Passo 3

Agora, vamos substituir x e dx na integral original:
integral raiz2 - x^2x^2 dx = integral raiz2 - 2 sin^2 theta2 sin^2 theta cdot raiz2 cos theta dtheta
Simplificando a expressão dentro da raiz:
raiz2 - 2 sin^2 theta = raiz2(1 - sin^2 theta) = raiz2 cos^2 theta = raiz2 cos theta

Passo 4

Substituindo de volta na integral simplificada:
integral raiz2 cos theta2 sin^2 theta cdot raiz2 cos theta dtheta = integral 2 cos^2 theta2 sin^2 theta dtheta = integral cos^2 thetasin^2 theta dtheta

Passo 5

Vamos simplificar a fração usando identidades trigonométricas. Sabemos que cos^2 theta = 1 - sin^2 theta, mas nesse caso, é mais útil lembrar que cos thetasin theta = cot theta. Então:
cos^2 thetasin^2 theta = cot^2 theta
Portanto, a integral fica:
integral cot^2 theta dtheta

Passo 6

Agora, vamos integrar cot^2 theta. Sabemos que:
cot^2 theta = csc^2 theta - 1
Então, a integral fica:
integral (csc^2 theta - 1) dtheta = integral csc^2 theta dtheta - integral 1 dtheta
Sabemos que:
integral csc^2 theta dtheta = -cot theta + C
integral 1 dtheta = theta + C
Portanto:
-cot theta - theta + C

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original x. Lembrando que fizemos a substituição x = raiz2 sin theta, podemos desenhar um triângulo retângulo para relacionar theta e x.
No triângulo retângulo:
  • O cateto oposto a theta é x = raiz2 sin theta
  • A hipotenusa é raiz2
  • O cateto adjacente é raiz2 - x^2
Então, temos:
cot theta = cos thetasin theta = raiz2 - x^2x
theta = arcsin(xraiz2)

Passo 8

Substituindo de volta na expressão que obtivemos:
-cot theta - theta + C = -raiz2 - x^2x - arcsin(xraiz2) + C

Resposta

A integral integral raiz2 - x^2x^2 dx é igual a:
-raiz2 - x^2x - arcsin(xraiz2) + C
Onde C é a constante de integração.

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