Calcule a integral.
integral0^3 d x(a^2+x^2)^3 / 2, a>0

Passo 1

Estamos calculando a integral definida integral0^3dx(a^2+x^2)^3/2 com a>0. O conteúdo aqui é integração de função racional envolvendo (a^2+x^2)^-3/2, e vamos usar substituição trigonométrica para encontrar a primitiva.

Passo 2

Fazendo a troca de variável x = atantheta, então dx = asec^2theta,dtheta e a^2 + x^2 = a^2sec^2theta. A integral vira
integral0^3dx(a^2+x^2)^3/2 = integraltheta=0^theta=arctan(3/a) asec^2theta,dthetal(a^2sec^2thetar)^3/2
Como (a^2sec^2theta)^3/2 = a^3sec^3theta, a integranda simplifica-se para
asec^2thetaa^3sec^3theta = 1a^2costheta
Logo a integral fica
1a^2integral0^arctan(3/a)costheta,dtheta = 1a^2l[sinthetar]0^arctan(3/a)
Agora usamos sin(arctan(3/a)) = 3/araiz1+(3/a)^2 = 3raiza^2+9 para avaliar o valor final. Substituindo os limites, só sobra
1a^2cdot3raiza^2+9 = 3a^2raiza^2+9

Resposta

3a^2raiza^2+9

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