Calcule a integral
integral 2 x^2-x+4x^3+4 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem para resolver a integral:
integral 2x^2 - x + 4x^3 + 4x , dx
Nesse exercício, vamos trabalhar com integração de funções racionais, que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar usar frações parciais, que ajuda a decompor a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador: x^3 + 4x. A gente pode fatorar esse polinômio:
x^3 + 4x = x(x^2 + 4)
Então, a fração fica:
2x^2 - x + 4x(x^2 + 4)

Passo 3

Agora, vamos decompor essa fração em partes mais simples usando frações parciais. A ideia é escrever:
2x^2 - x + 4x(x^2 + 4) = Ax + Bx + Cx^2 + 4
Aqui, A, B e C são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Vamos multiplicar ambos os lados da equação por x(x^2 + 4) para eliminar os denominadores:
2x^2 - x + 4 = A(x^2 + 4) + (Bx + C)x
Simplificando o lado direito:
2x^2 - x + 4 = A x^2 + 4A + B x^2 + C x
2x^2 - x + 4 = (A + B)x^2 + Cx + 4A

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
  1. Para x^2: A + B = 2
  2. Para x: C = -1
  3. Para o termo constante: 4A = 4

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações:
  1. De 4A = 4, temos A = 1
  2. Com A = 1, da equação A + B = 2, temos B = 2 - 1 = 1
  3. Já sabemos que C = -1
Então, A = 1, B = 1 e C = -1.

Passo 7

Agora, substituímos os valores encontrados na decomposição das frações parciais:
2x^2 - x + 4x(x^2 + 4) = 1x + 1x - 1x^2 + 4
Ou seja,
1x + x - 1x^2 + 4

Passo 8

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1x , dx + integral x - 1x^2 + 4 , dx
A primeira integral é básica, e para a segunda, vamos dividir em duas integrais:
integral xx^2 + 4 , dx - integral 1x^2 + 4 , dx

Passo 9

Vamos resolver cada parte:
  1. integral 1x , dx = ln|x| + C
  2. integral xx^2 + 4 , dx
    Para essa, fazemos a substituição u = x^2 + 4, então du = 2x , dx, ou seja, du2 = x , dx. Então:
12 integral 1u , du = 12 ln|u| + C = 12 ln(x^2 + 4) + C
  1. integral 1x^2 + 4 , dx
    Aqui, reconhecemos a integral da forma integral 1x^2 + a^2 , dx = 1a tan^-1(xa) + C, com a = 2:
12 tan^-1(x2) + C

Passo 10

Juntando todas as partes, temos:
ln|x| + 12 ln(x^2 + 4) - 12 tan^-1(x2) + C

Resposta

A integral é igual a:
ln|x| + 12 ln(x^2 + 4) - 12 tan^-1(x2) + C

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