Calcule a integral
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem para resolver a integral:
Nesse exercício, vamos trabalhar com integração de funções racionais, que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar usar frações parciais, que ajuda a decompor a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador:
. A gente pode fatorar esse polinômio:
Então, a fração fica:
Passo 3
Agora, vamos decompor essa fração em partes mais simples usando frações parciais. A ideia é escrever:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Vamos multiplicar ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
- Para
: - Para
: - Para o termo constante:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema de equações:
- De
, temos - Com
, da equação , temos - Já sabemos que
Então,
,
e
.
Passo 7
Agora, substituímos os valores encontrados na decomposição das frações parciais:
Ou seja,
Passo 8
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
A primeira integral é básica, e para a segunda, vamos dividir em duas integrais:
Passo 9
Vamos resolver cada parte:
-
-
Para essa, fazemos a substituição
, então , ou seja, . Então:
-
Aqui, reconhecemos a integral da forma
, com :
Passo 10
Juntando todas as partes, temos:
Resposta
A integral é igual a: