Calcule a integral.
integral|z-1|=2 e^i zz+i d z.

Passo 1

O enunciado pede a integral complexa integral|z-1|=2 e^i zz+i,dz. O conteúdo que vamos usar é o Teorema dos Resíduos, que permite avaliar integrais de funções meromorfas em contornos fechados pelo cálculo dos resíduos dos polos internos.

Passo 2

Identificamos que a única singularidade de e^i zz+i é um polo simples em z=-i. Para ver se ele está dentro do círculo de centro 1 e raio 2, calculamos:
|(-i)-1| = raiz(-1)^2 + (-1)^2 = raiz2 < 2
Portanto, z=-i fica dentro do contorno.

Passo 3

Para um polo simples em , o resíduo é

Passo 4

Aplicando o Teorema dos Resíduos:
integral|z-1|=2 e^i zz+i,dz = 2pi i sum resíduos internos = 2pi i,e í

Resposta

2pi i,e

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