Resolva as equaçōes diferenciais a seguir.
d yd t=k y(10-y), k constante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada: dydt = k , y (10 - y). Esse tipo de equação faz parte das Equações Diferenciais Ordinárias de primeira ordem e envolve crescimento ou decrescimento populacional, por exemplo. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis y e t. Isso significa colocar todas as expressões envolvendo y de um lado e as de t do outro. A equação fica assim:
1y (10 - y) , dy = k , dt

Passo 3

Agora, precisamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo envolve uma fração que podemos decompor em frações parciais. Vamos fazer isso:
1y (10 - y) = Ay + B10 - y
Resolvendo para A e B, encontramos que A = 110 e B = 110. Então, a integral fica:
integral ( 110y + 110(10 - y) ) dy = integral k , dt

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo:
110 ln|y| - 110 ln|10 - y| = kt + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Podemos simplificar a expressão combinando os logaritmos:
ln( y10 - y )^110 = kt + C
Multiplicando ambos os lados por 10:
ln( y10 - y ) = 10kt + C'
Onde C' = 10C.

Passo 6

Para isolar y, aplicamos a função exponencial nos dois lados:
y10 - y = e^10kt + C' = Ce^10kt
Onde C = e^C' é uma nova constante.

Passo 7

Resolvendo para y:
y = 10Ce^10kt1 + Ce^10kt
Podemos simplificar definindo C novamente, então a solução geral fica:
y(t) = 101 + Ce^-10kt

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = 101 + Ce^-10kt
Onde C é a constante de integração.

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