Resolva as equaçōes diferenciais a seguir.
constante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada:
. Esse tipo de equação faz parte das Equações Diferenciais Ordinárias de primeira ordem e envolve crescimento ou decrescimento populacional, por exemplo. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis
e
. Isso significa colocar todas as expressões envolvendo
de um lado e as de
do outro. A equação fica assim:
Passo 3
Agora, precisamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo envolve uma fração que podemos decompor em frações parciais. Vamos fazer isso:
Resolvendo para
e
, encontramos que
e
. Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos integrar cada termo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Podemos simplificar a expressão combinando os logaritmos:
Multiplicando ambos os lados por 10:
Onde
.
Passo 6
Para isolar
, aplicamos a função exponencial nos dois lados:
Onde
é uma nova constante.
Passo 7
Resolvendo para
:
Podemos simplificar definindo
novamente, então a solução geral fica:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.