Resolva as equaçōes diferenciais a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. Essa é uma equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar o método dos coeficientes constantes, que envolve encontrar as raízes da equação característica.
Passo 2
Primeiro, montamos a equação característica associada à equação diferencial. Substituímos
por
, onde
é um número que vamos determinar. Fazendo isso, a equação fica:
Passo 3
Agora, precisamos resolver essa equação cúbica para encontrar os valores de
. Vamos tentar encontrar uma raiz real primeiro. Testando
:
Não é raiz. Vamos tentar
:
Então,
é uma raiz da equação característica.
Passo 4
Como encontramos uma raiz real
, podemos fatorar a equação cúbica dividindo-a por
. Usando a divisão polinomial:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a equação quadrática resultante:
Para resolver essa equação, usamos a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá raízes complexas:
Passo 6
Agora que temos todas as raízes da equação característica:
-
(real) -
(complexa) -
(complexa)
A solução geral da equação diferencial é dada pela soma das soluções correspondentes a cada raiz.
Passo 7
Para a raiz real
, a solução é:
Para as raízes complexas
, onde
e
, a solução é:
Substituindo
e
:
Resposta
Portanto, a solução geral da equação diferencial é:
Onde
,
e
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.