Resolva as equaçōes diferenciais a seguir.
y^prime prime prime-5 y^prime prime+9 y^prime-6 y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: y''' - 5 y'' + 9 y' - 6 y = 0 . Essa é uma equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar o método dos coeficientes constantes, que envolve encontrar as raízes da equação característica.

Passo 2

Primeiro, montamos a equação característica associada à equação diferencial. Substituímos y por e^rt , onde r é um número que vamos determinar. Fazendo isso, a equação fica:
r^3 - 5 r^2 + 9 r - 6 = 0

Passo 3

Agora, precisamos resolver essa equação cúbica para encontrar os valores de r . Vamos tentar encontrar uma raiz real primeiro. Testando r = 1 :
1^3 - 5(1)^2 + 9(1) - 6 = 1 - 5 + 9 - 6 = -1 + 9 - 6 = 2 neq 0
Não é raiz. Vamos tentar r = 2 :
2^3 - 5(2)^2 + 9(2) - 6 = 8 - 20 + 18 - 6 = (8 - 20) + (18 - 6) = -12 + 12 = 0
Então, r = 2 é uma raiz da equação característica.

Passo 4

Como encontramos uma raiz real r = 2 , podemos fatorar a equação cúbica dividindo-a por (r - 2) . Usando a divisão polinomial:
r^3 - 5 r^2 + 9 r - 6 = (r - 2)(r^2 - 3 r + 3)

Passo 5

Agora, precisamos resolver a equação quadrática resultante:
r^2 - 3 r + 3 = 0
Para resolver essa equação, usamos a fórmula de Bhaskara:
r = 3 pm raiz(-3)^2 - 4 cdot 1 cdot 32 cdot 1 = 3 pm raiz9 - 122 = 3 pm raiz-32
Isso nos dá raízes complexas:
r = 32 pm raiz32i

Passo 6

Agora que temos todas as raízes da equação característica:
  • r1 = 2 (real)
  • r2 = 32 + raiz32i (complexa)
  • r3 = 32 - raiz32i (complexa)
A solução geral da equação diferencial é dada pela soma das soluções correspondentes a cada raiz.

Passo 7

Para a raiz real r1 = 2 , a solução é:
y1(t) = C1 e^2t
Para as raízes complexas r = alpha pm beta i , onde alpha = 32 e beta = raiz32 , a solução é:
y2(t) = e^alpha t ( C2 cos(beta t) + C3 sin(beta t) )
Substituindo alpha e beta :
y2(t) = e^32 t ( C2 cos( raiz32 t ) + C3 sin( raiz32 t ) )

Resposta

Portanto, a solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 e^2t + e^32 t ( C2 cos( raiz32 t ) + C3 sin( raiz32 t ) )
Onde C1 , C2 e C3 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

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