Calcule a integral.
integral0^3(2 sen x-e^x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a integral definida de 2 sin x - e^x de 0 a 3. Isso faz parte do estudo de Cálculo Integral. Para resolver, a gente vai precisar saber como encontrar as antiderivadas (ou primitivas) das funções trigonométricas e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes. A integral de uma soma (ou subtração) de funções é igual à soma (ou subtração) das integrais dessas funções. Então temos:
integral0^3 (2 sin x - e^x) dx = integral0^3 2 sin x , dx - integral0^3 e^x , dx

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira integral: integral 2 sin x , dx.
A antiderivada de sin x é -cos x, porque a derivada de -cos x é sin x. Então:
integral 2 sin x , dx = 2 integral sin x , dx = 2 (-cos x) = -2 cos x

Passo 4

Vamos para a segunda integral: integral e^x , dx.
A antiderivada de e^x é simplesmente e^x, já que a derivada de e^x é ele mesmo. Então:
integral e^x , dx = e^x

Passo 5

Agora que temos as antiderivadas, vamos avaliar cada uma delas nos limites de 0 a 3.
Para a primeira parte:
-2 cos x |0^3 = -2 cos (3) - (-2 cos (0)) = -2 cos 3 + 2 cos 0
Sabemos que cos 0 = 1, então:
-2 cos 3 + 2(1) = -2 cos 3 + 2
Para a segunda parte:
e^x |0^3 = e^3 - e^0 = e^3 - 1

Passo 6

Agora, vamos juntar tudo:
integral0^3 (2 sin x - e^x) dx = (-2 cos 3 + 2) - (e^3 - 1) = -2 cos 3 + 2 - e^3 + 1
Simplificando:
-2 cos 3 + 3 - e^3

Resposta

O valor da integral é -2 cos 3 + 3 - e^3 .

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