Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a integral definida de de a . Isso faz parte do estudo de Cálculo Integral. Para resolver, a gente vai precisar saber como encontrar as antiderivadas (ou primitivas) das funções trigonométricas e exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a integral em duas partes. A integral de uma soma (ou subtração) de funções é igual à soma (ou subtração) das integrais dessas funções. Então temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira integral: .
A antiderivada de é , porque a derivada de é . Então:
Passo 4
Vamos para a segunda integral: .
A antiderivada de é simplesmente , já que a derivada de é ele mesmo. Então:
Passo 5
Agora que temos as antiderivadas, vamos avaliar cada uma delas nos limites de a .
Para a primeira parte:
Sabemos que cos 0 = 1, então:
-2 cos 3 + 2(1) = -2 cos 3 + 2
Para a segunda parte:
e^x |0^3 = e^3 - e^0 = e^3 - 1
Passo 6
Agora, vamos juntar tudo:
integral0^3 (2 sin x - e^x) dx = (-2 cos 3 + 2) - (e^3 - 1) = -2 cos 3 + 2 - e^3 + 1