Determine a forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial de Laguerre:
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
Passo 1
Então, a gente tem a seguinte questão: precisamos encontrar a forma do Wronskiano de duas soluções para a equação diferencial de Laguerre dada por
Vamos usar o conceito de Wronskiano, que é uma ferramenta importante em equações diferenciais para verificar a independência linear de soluções. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o Wronskiano para uma equação diferencial de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão. A forma padrão de uma equação diferencial linear de segunda ordem é:
Para chegar nessa forma, dividimos todos os termos da equação original por
:
Aqui, identificamos que:
Passo 3
Agora, vamos lembrar como calcular o Wronskiano
para duas soluções de uma equação diferencial linear de segunda ordem. Existe uma fórmula conhecida como Fórmula de Abel que nos ajuda nisso:
Onde
é uma constante.
Passo 4
Vamos aplicar a Fórmula de Abel com o
que encontramos:
Vamos calcular a integral no expoente:
Portanto, temos:
Sabemos que
, então:
Resposta
A forma do Wronskiano é
.