Determine a forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial de Laguerre:
t y^prime prime+(1-t) y^prime+lambda y=0
Escolha uma opção:
c e^tt
c t^2 e^t
Nenhuma das demais alternativas
c e^-t^2 / 2
c e^t^2
c cos t

Passo 1

Então, a gente tem a seguinte questão: precisamos encontrar a forma do Wronskiano de duas soluções para a equação diferencial de Laguerre dada por
t y'' + (1 - t) y' + lambda y = 0
Vamos usar o conceito de Wronskiano, que é uma ferramenta importante em equações diferenciais para verificar a independência linear de soluções. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o Wronskiano para uma equação diferencial de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão. A forma padrão de uma equação diferencial linear de segunda ordem é:
y'' + P(t) y' + Q(t) y = 0
Para chegar nessa forma, dividimos todos os termos da equação original por t :
y'' + 1 - tt y' + lambdat y = 0
Aqui, identificamos que:
P(t) = 1 - tt
Q(t) = lambdat

Passo 3

Agora, vamos lembrar como calcular o Wronskiano W(t) para duas soluções de uma equação diferencial linear de segunda ordem. Existe uma fórmula conhecida como Fórmula de Abel que nos ajuda nisso:
W(t) = c cdot e^-integral P(t) , dt
Onde c é uma constante.

Passo 4

Vamos aplicar a Fórmula de Abel com o P(t) que encontramos:
W(t) = c cdot e^-integral 1 - tt , dt
Vamos calcular a integral no expoente:
integral 1 - tt , dt = integral 1t , dt - integral tt , dt = ln |t| - t
Portanto, temos:
W(t) = c cdot e^-(ln t - t) = c cdot e^- ln t + t = c cdot e^t cdot e^- ln t
Sabemos que e^- ln t = 1t , então:
W(t) = c cdot e^tt

Resposta

A forma do Wronskiano é c , e^tt .

Exercícios relacionados