A integral imprópria converge ou diverge?
integral1^infty arctg xx^3+x^2+x+1 d x

Passo 1

O enunciado pede decidir se uma integral imprópria converge ou diverge. A integral em questão é
integral1^infty arctg xx^3+x^2+x+1,dx
Trata-se de um caso impróprio no infinito. Para resolver, vamos usar o teste de comparação e o comportamento assintótico do integrando.

Passo 2

Para xtoinfty sabemos que arctg xtopi2 e que
x^3+x^2+x+1sim x^3
Isto mostra que, para x grande,
arctg xx^3+x^2+x+1sim pi/2x^3
Como a integral-p
integral1^inftyx^-3,dx
converge (pois o expoente 3>1), já temos forte indicação de que a nossa integral também converge.

Passo 3

Para formalizar pelo teste de comparação, note que, para todo x>=1,
0<arctg x<= pi2, x^3+x^2+x+1>= x^3
Logo
0<arctg xx^3+x^2+x+1<= pi/2x^3
E como
integral1^inftypi/2x^3,dx =pi2integral1^inftyx^-3,dx
é convergente, concluímos pela comparação que
integral1^inftyarctg xx^3+x^2+x+1,dx
também converge.

Resposta

A integral converge.

Exercícios relacionados