Resolva por transformada de Laplace
c y^prime+2=sin t y(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a transformada de Laplace. O enunciado nos dá a equação y' + 2 = sin t com a condição inicial y(0) = 1 . Para resolver isso, vamos precisar conhecer as propriedades da transformada de Laplace, especialmente como ela lida com derivadas e funções trigonométricas como o seno.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em toda a equação. A transformada de Laplace de y'(t) é sY(s) - y(0) , onde Y(s) é a transformada de y(t) . Também conhecemos a transformada de sin t , que é 1s^2 + 1 . Então, aplicando a transformada de Laplace na equação:
Ly' + 2 = Lsin t

Passo 3

Aplicando as transformadas:
Ly' + L2 = Lsin t
Sabemos que Ly' = sY(s) - y(0) e L2 = 2s . Substituindo na equação:
sY(s) - y(0) + 2s = 1s^2 + 1

Passo 4

Agora, substituímos a condição inicial y(0) = 1 :
sY(s) - 1 + 2s = 1s^2 + 1
Vamos isolar Y(s) :
sY(s) = 1 - 2s + 1s^2 + 1
Y(s) = 1s - 2s^2 + 1s(s^2 + 1)

Passo 5

Agora, precisamos simplificar Y(s) para aplicar a transformada inversa de Laplace e encontrar y(t) . Vamos decompôr a fração 1s(s^2 + 1) em frações parciais:
1s(s^2 + 1) = As + Bs + Cs^2 + 1
Multiplicando ambos os lados por s(s^2 + 1) :
1 = A(s^2 + 1) + (Bs + C)s
Igualando os coeficientes:
1 = A s^2 + A + Bs^2 + Cs
Comparando os termos:
A + B = 0 (coeficiente de s^2)
C = 0 (coeficiente de s)
A = 1 (termo constante)
Então, A = 1 , B = -1 , e C = 0 . Portanto:
1s(s^2 + 1) = 1s - ss^2 + 1

Passo 6

Substituindo de volta em Y(s) :
Y(s) = 1s - 2s^2 + ( 1s - ss^2 + 1 )
Simplificando:
Y(s) = 2s - 2s^2 - ss^2 + 1

Passo 7

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente:
L^-12s = 2
L^-12s^2 = 2t
L^-1ss^2 + 1 = cos t
Então, combinando tudo:
y(t) = 2 - 2t - cos t

Resposta

A solução da equação diferencial é y(t) = 2 - 2t - cos t .

Exercícios relacionados