Questão 9. Determine a solução de
d yd t=1e^y-t, com y(1)=0
Dica: Considere t como variável dependente e não y.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
dydt = 1e^y - t,
com a condição inicial y(1)=0. A dica sugere tratar t como função de y. Isso transforma a equação em uma equação linear para t(y).

Passo 2

Invertendo a derivada, obtemos
dtdy = e^y - t
Reescrevendo em forma padrão de equação linear:
dtdy + t = e^y

Passo 3

Para resolver dtdy + t = e^y, usamos o fator integrante mu(y)=e^integral 1,dy=e^y. Multiplicando tudo por e^y:
e^ydtdy + e^yt = e^2y Longrightarrow ddyl(t,e^yr) = e^2y
Integrando em y:
t,e^y = integral e^2y,dy = 12e^2y + C
Logo
t = 12e^y + C,e^-y

Passo 4

Usamos a condição inicial y(1)=0, isto é, quando y=0 tem-se t=1. Substituindo em
t = tfrac12e^y + C,e^-y:
1 = 12e^0 + C,e^0 Longrightarrow 1 = 12 + C Longrightarrow C = 12
Assim
t = 12e^y + 12e^-y = e^y+e^-y2 = cosh(y)

Passo 5

Finalmente, invertemos para obter em função de . Como e é crescente para ,
válido para .

Resposta

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