Calcule a integral.
integral raizx^2-1x^4 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral raizx^2-1x^4,dx
O conteúdo é técnicas de integração por substituição trigonométrica, e vamos usar a substituição x=sectheta para lidar com raizx^2-1.

Passo 2

Fazendo x=sectheta temos
raizx^2-1=tantheta e dx=secthetatantheta,dtheta.
Substituindo na integral,
integral raizx^2-1x^4,dx =integral tanthetasec^4theta,l(secthetatantheta,dthetar) =integral tan^2theta,sec^-3theta,dtheta

Passo 3

Note que tan^2theta=sec^2theta-1, então
tan^2theta,sec^-3theta =(sec^2theta-1),sec^-3theta =sec^-1theta-sec^-3theta
Logo a integral fica
integral sec^-1theta,dtheta -integral sec^-3theta,dtheta =integral costheta,dtheta -integral cos^3theta,dtheta

Passo 4

Para integral costheta,dtheta temos
integral costheta,dtheta=sintheta
Para integral cos^3theta,dtheta escrevemos cos^3theta=costheta,(1-sin^2theta) e usamos u=sintheta, du=costheta,dtheta:
integral cos^3theta,dtheta =integral (1-u^2),du =u-tfracu^33 =sintheta-tfracsin^3theta3
Subtraindo, obtemos
sintheta-l(sintheta-tfracsin^3theta3r) =tfracsin^3theta3+C

Passo 5

Fazendo a volta para x, como
sintheta =raiz1-cos^2theta =raiz1-tfrac1x^2 =tfracraizx^2-1x,
temos
tfracsin^3theta3 =tfrac13,l(tfracraizx^2-1xr)^3 =tfrac(x^2-1)^3/23,x^3+C

Resposta

integral raizx^2-1x^4,dx =(x^2-1)^3/23,x^3+C

Exercícios relacionados