Sejam
e
duas funções deriváveis no intervalo aberto
em
, e tais que
Suponha, ainda, que existem constantes
e
tais que, para todo
. Nestas condições, mostre que, para todo
, têm-se, também
(3 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos duas funções,
e
, que são diferenciáveis no intervalo aberto
. Além disso, sabemos que
em todo
, e que, quando
se aproxima de
pela direita, tanto
quanto
tendem a zero. Também temos constantes
e
que satisfazem
para todo
em
. Nosso objetivo é mostrar que essa desigualdade também vale para
em todo
.
Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra de L’Hôpital e propriedades de funções monotônicas.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a razão
. Queremos entender como essa razão se comporta no intervalo
.
Sabemos que, como
em
, a função
é estritamente crescente nesse intervalo. Além disso, ambos
e
tendem a zero quando
se aproxima de
pela direita.
Passo 3
Para analisar
, podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que é útil quando temos limites que resultam em formas indeterminadas como
. No nosso caso:
Isso porque tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero.
Passo 4
Sabemos que
para todo
. Isso implica que, próximo de
, a taxa de variação de
em relação a
está entre
e
.
Portanto, o limite da razão
também estará entre
e
:
Passo 5
Como
é estritamente crescente e
, podemos afirmar que
é invertível e a sua inversa também é diferenciável em
. Isso nos permite estender a desigualdade para todo
, não apenas no limite:
Passo 6
Assim, mostramos que, dadas as condições iniciais, a razão
está sempre entre
e
para todo
no intervalo
.
Resposta
Para todo
, temos
.