Sejam f e g duas funções deriváveis no intervalo aberto A=(a, b), com g^prime(x)>0 em A, e tais que
lim x a^+ f(x)=0 e lim x a^+ g(x)=0
Suponha, ainda, que existem constantes alpha e beta tais que, para todo x in A, alpha<f^prime(x)g^prime(x)<beta. Nestas condições, mostre que, para todo x in A, têm-se, também
alpha<f^prime(x)g^prime(x)<beta
(3 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas funções, f e g , que são diferenciáveis no intervalo aberto A = (a, b) . Além disso, sabemos que g'(x) > 0 em todo A , e que, quando x se aproxima de a pela direita, tanto f(x) quanto g(x) tendem a zero. Também temos constantes alpha e beta que satisfazem alpha < f'(x)g'(x) < beta para todo x em A . Nosso objetivo é mostrar que essa desigualdade também vale para f(x)g(x) em todo A .
Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra de L’Hôpital e propriedades de funções monotônicas.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a razão f(x)g(x) . Queremos entender como essa razão se comporta no intervalo A .
Sabemos que, como g'(x) > 0 em A , a função g(x) é estritamente crescente nesse intervalo. Além disso, ambos f(x) e g(x) tendem a zero quando x se aproxima de a pela direita.

Passo 3

Para analisar f(x)g(x) , podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que é útil quando temos limites que resultam em formas indeterminadas como 00 . No nosso caso:
limx to a^+ f(x)g(x) = limx to a^+ f'(x)g'(x)
Isso porque tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero.

Passo 4

Sabemos que alpha < f'(x)g'(x) < beta para todo x in A . Isso implica que, próximo de a , a taxa de variação de f em relação a g está entre alpha e beta .
Portanto, o limite da razão f(x)g(x) também estará entre alpha e beta :
alpha < limx to a^+ f(x)g(x) < beta

Passo 5

Como g(x) é estritamente crescente e g'(x) > 0 , podemos afirmar que g(x) é invertível e a sua inversa também é diferenciável em A . Isso nos permite estender a desigualdade para todo x in A , não apenas no limite:
alpha < f(x)g(x) < beta

Passo 6

Assim, mostramos que, dadas as condições iniciais, a razão f(x)g(x) está sempre entre alpha e beta para todo x no intervalo A .

Resposta

Para todo x in A , temos alpha < f(x)g(x) < beta .

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