Calcule a integral.
integral0^1 / 2 x raiz1-4 x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida de x raiz1 - 4x^2 de 0 até 12 . Estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com integrais que envolvem raízes quadradas e polinômios. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica de substituição, que ajuda a simplificar a integral para algo mais fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte dentro da raiz quadrada: 1 - 4x^2 . Isso se parece com a fórmula da diferença de quadrados, que nos dá uma dica de que uma substituição trigonométrica pode funcionar, mas nesse caso, uma substituição simples será suficiente.
Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar u = 1 - 4x^2 . Esse tipo de substituição ajuda a transformar a integral em termos de u , que é mais fácil de lidar.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para poder substituir dx . Então, derivamos u :
dudx = -8x
Isso significa que du = -8x , dx . Podemos resolver para x , dx :
x , dx = -18 du

Passo 4

Vamos substituir u e x , dx na integral original:
integral0^12 x raiz1 - 4x^2 , dx = integralu(0)^u(12) raizu (-18 du)
Agora, precisamos ajustar os limites de integração para os valores de u :
Quando x = 0 :
u = 1 - 4(0)^2 = 1
Quando x = 12 :
u = 1 - 4(12)^2 = 1 - 4(14) = 1 - 1 = 0
Então, a integral fica:
-18 integral1^0 raizu , du

Passo 5

Podemos trocar os limites de integração invertendo o sinal:
18 integral0^1 raizu , du
Agora, vamos integrar raizu . Lembre-se que raizu = u^12 , e a integral de u^n é u^n+1n+1 para n neq -1 .
integral u^12 , du = u^3232 = 23 u^32

Passo 6

Aplicando os limites de integração:
18 [ 23 u^32 ]0^1 = 18 ( 23 (1)^32 - 23 (0)^32 ) = 18 ( 23 - 0 ) = 18 cdot 23 = 112

Resposta

A integral integral0^12 x raiz1 - 4x^2 , dx é igual a 112 .

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