Calcule a integral
integral x^2(x+1)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral integral x^2(x+1)^2 dx. Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo, mais especificamente, integração de polinômios. Para resolver isso, vamos precisar expandir a expressão dentro da integral para simplificar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir (x + 1)^2. Sabemos que (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. Aplicando isso aqui:
(x + 1)^2 = x^2 + 2x cdot 1 + 1^2 = x^2 + 2x + 1

Passo 3

Agora, substituímos essa expansão de volta na integral original:
integral x^2(x+1)^2 dx = integral x^2(x^2 + 2x + 1) dx

Passo 4

Vamos multiplicar x^2 pelos termos dentro do parênteses:
x^2 cdot x^2 = x^4, x^2 cdot 2x = 2x^3, x^2 cdot 1 = x^2
Então, a integral fica:
integral (x^4 + 2x^3 + x^2) dx

Passo 5

Agora, integramos cada termo separadamente. Lembrando que a integral de x^n é x^n+1n+1, onde n neq -1:
integral x^4 dx = x^55, integral 2x^3 dx = 2 cdot x^44 = x^42, integral x^2 dx = x^33

Passo 6

Juntando todos os resultados das integrais:
x^55 + x^42 + x^33 + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

integral x^2(x+1)^2 dx = x^55 + x^42 + x^33 + C

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