Calcule a integral
integral0^1(6 x^2-4 x+5) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral0^1(6 x^2-4 x+5) dx. A gente vai usar o conteúdo de cálculo integral, especificamente a integração de funções polinomiais. Para isso, vamos precisar saber como encontrar as antiderivadas de cada termo do polinômio.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em partes menores para facilitar a resolução:
integral0^1 6x^2 , dx - integral0^1 4x , dx + integral0^1 5 , dx
Isso funciona porque a integral da soma (ou subtração) de funções é igual à soma (ou subtração) das integrais.

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo separadamente.
  1. Integral de 6x^2:
Para integrar x^n, usamos a fórmula integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C, onde C é a constante de integração. Aqui, n = 2.
integral 6x^2 , dx = 6 cdot x^33 = 2x^3
  1. Integral de -4x:
Usando a mesma fórmula com n = 1:
integral -4x , dx = -4 cdot x^22 = -2x^2
  1. Integral de 5:
A integral de uma constante a é a x.
integral 5 , dx = 5x

Passo 4

Agora, somamos as integrais encontradas:
2x^3 - 2x^2 + 5x
Esse é a antiderivada da função original.

Passo 5

Para encontrar o valor da integral definida de 0 a 1, vamos avaliar a antiderivada nos limites de integração:
[2x^3 - 2x^2 + 5x]0^1 = (2(1)^3 - 2(1)^2 + 5(1)) - (2(0)^3 - 2(0)^2 + 5(0))
Simplificando:
= (2 - 2 + 5) - (0 - 0 + 0) = 5

Resposta

5

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