Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.
f(x)=integral1-2 x^1 t^31+t^2 d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função f(x) = integral1-2x^1 t^31+t^2 , dt e queremos encontrar a derivada dela usando a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo. Basicamente, isso envolve entender como derivar uma integral que tem limites que dependem de x .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo. Ela nos diz que se F(x) = integrala^x f(t) , dt , então a derivada de F(x) em relação a x é simplesmente f(x) . Ou seja, F'(x) = f(x) .

Passo 3

Mas no nosso caso, os limites da integral não são de uma constante até x . Temos uma integral de 1-2x até 1 . Quando os limites são funções de x , a derivada fica um pouco mais elaborada. A fórmula geral fica assim:
F'(x) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x)
Onde:
  • b(x) é o limite superior da integral
  • a(x) é o limite inferior da integral
  • f(t) é a função dentro da integral

Passo 4

Aplicando isso ao nosso problema:
  • b(x) = 1 então b'(x) = 0 (porque 1 é constante)
  • a(x) = 1 - 2x então a'(x) = -2 (derivando em relação a x )
A função dentro da integral é f(t) = t^31+t^2 .

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula:
f'(x) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x)
Substituindo os valores que encontramos:
f'(x) = 1^31 + 1^2 cdot 0 - (1-2x)^31 + (1-2x)^2 cdot (-2)

Passo 6

Simplificando isso:
f'(x) = 0 - ( -2 cdot (1-2x)^31 + (1-2x)^2 )
O sinal negativo se desfaz com o negativo dentro dos parênteses.

Passo 7

Então, finalmente:
f'(x) = 2(1-2x)^31 + (1-2x)^2

Resposta

A derivada da função é f'(x) = dfrac2(1-2x)^31 + (1-2x)^2 .

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