Calcule a integral
integral-3^3 12(x^4+14 x^3-x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: integral-3^3 12(x^4+14 x^3-x) dx . Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais, especificamente integrais definidas. Para resolver isso, vamos precisar entender as propriedades de funções pares e ímpares, além de saber como integrar cada termo da expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral retirando o fator constante 12:
12 integral-3^3 (x^4+14 x^3-x) dx = 12 ( integral-3^3 x^4 dx + 14 integral-3^3 x^3 dx - integral-3^3 x dx )

Passo 3

Agora, vamos analisar cada uma dessas integrais separadamente. É útil identificar se as funções são pares ou ímpares, pois isso pode simplificar o cálculo.
  • x^4 é uma função par, porque (-x)^4 = x^4 .
  • x^3 é uma função ímpar, porque (-x)^3 = -x^3 .
  • x também é uma função ímpar, pois (-x) = -x .

Passo 4

Sabemos que:
  • A integral de uma função par de -a a a é duas vezes a integral de 0 a a.
  • A integral de uma função ímpar de -a a a é zero.
Vamos aplicar isso às nossas integrais:
integral-3^3 x^4 dx = 2 integral0^3 x^4 dx
integral-3^3 x^3 dx = 0
integral-3^3 x dx = 0

Passo 5

Agora, substituímos essas conclusões na expressão original:
12 ( 2 integral0^3 x^4 dx + 14 cdot 0 - 0 ) = 12 cdot 2 integral0^3 x^4 dx = integral0^3 x^4 dx

Passo 6

Vamos calcular a integral de x^4 de 0 a 3:
integral x^4 dx = x^55 + C
Aplicando os limites:
x^55 |0^3 = 3^55 - 0^55 = 2435 - 0 = 2435

Resposta

O valor da integral é 2435 .

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