Calcule a integral
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral de
em relação a
. Isso envolve frações racionais, onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos usar frações parciais, que é uma técnica que decompõe a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Colocando
em evidência:
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático
:
Então, o denominador completamente fatorado fica:
Passo 3
Agora, vamos escrever a fração original em termos de frações parciais. Queremos encontrar constantes
,
e
tais que:
Para descobrir
,
e
, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Passo 4
Vamos encontrar os valores de
,
e
substituindo valores de
que simplificam a equação:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Agora que temos os valores de
,
e
, podemos reescrever a fração original:
Passo 6
Finalmente, vamos integrar cada termo separadamente:
Sabemos que a integral de
é
, então:
Resposta
A integral vale
.