Calcule a integral integral x^2+6x^3+5 x^2+6 x d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral de x^2+6x^3+5x^2+6x em relação a x. Isso envolve frações racionais, onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos usar frações parciais, que é uma técnica que decompõe a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^3+5x^2+6x. Colocando x em evidência:
x^3+5x^2+6x = x(x^2 + 5x + 6)
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático x^2 + 5x + 6:
x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
Então, o denominador completamente fatorado fica:
x^3+5x^2+6x = x(x + 2)(x + 3)

Passo 3

Agora, vamos escrever a fração original em termos de frações parciais. Queremos encontrar constantes A, B e C tais que:
x^2+6x(x + 2)(x + 3) = Ax + Bx + 2 + Cx + 3
Para descobrir A, B e C, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum x(x + 2)(x + 3):
x^2+6 = A(x + 2)(x + 3) + Bx(x + 3) + Cx(x + 2)

Passo 4

Vamos encontrar os valores de A, B e C substituindo valores de x que simplificam a equação:
  1. Para x = 0:
0^2 + 6 = A(2)(3) + B(0)(3) + C(0)(2) 6 = 6A A = 1
  1. Para x = -2:
(-2)^2 + 6 = A(0) + B(-2)(1) + C(-2)(0) 4 + 6 = -2B 10 = -2B B = -5
  1. Para x = -3:
(-3)^2 + 6 = A(0) + B(-3)(0) + C(-3)(-1) 9 + 6 = 3C 15 = 3C C = 5

Passo 5

Agora que temos os valores de A, B e C, podemos reescrever a fração original:
x^2+6x(x + 2)(x + 3) = 1x - 5x + 2 + 5x + 3

Passo 6

Finalmente, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1x , dx - 5 integral 1x + 2 , dx + 5 integral 1x + 3 , dx
Sabemos que a integral de 1x é ln|x|, então:
ln|x| - 5ln|x + 2| + 5ln|x + 3| + C

Resposta

A integral vale ln|x| - 5,ln|x + 2| + 5,ln|x + 3| + C.

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