Determine condições sobre a, b, c, d in R para que as primitivas de f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)^2(x-d)^2 sejam funções racionais.
( Resp.: d=c ou (a+b)(c+d)=2(a b+c d))

Passo 1

O enunciado pede condições em a,b,c,dinR tais que toda primitiva de
f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)^2(x-d)^2
seja uma função racional, ou seja, não contenha termos ln|x-c| nem ln|x-d|. Como a integração de um termo tfrac1x-c gera ln|x-c|, devemos ao decompor em frações parciais anular os coeficientes dos simples polos em x=c e x=d.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais padrão:
(x-a)(x-b)(x-c)^2(x-d)^2 =Ax-c+B(x-c)^2+Cx-d+D(x-d)^2
Multiplicando ambos os lados por (x-c)^2(x-d)^2 obtém-se a identidade
(x-a)(x-b) = A,(x-c)(x-d)^2 + B,(x-d)^2 + C,(x-d)(x-c)^2 + D,(x-c)^2

Passo 3

Para encontrar B e D avaliamos em x=c e x=d:
Avaliar em x=c:
(c-a)(c-b)=B,(c-d)^2 Longrightarrow B=(c-a)(c-b)(c-d)^2
Avaliar em x=d:
(d-a)(d-b)=D,(d-c)^2 Longrightarrow D=(d-a)(d-b)(d-c)^2

Passo 4

Para achar A derivamos a identidade do passo 2 e avaliamos em x=c.
De um lado,
ddxl[(x-a)(x-b)r] =2x - a - b,
então em x=c temos
F'(c)=2c - a - b
Do outro lado, diferenciando
R(x)=A,(x-c)(x-d)^2+B,(x-d)^2+cdots
e avaliando em x=c só sobra
R'(c)=A,(c-d)^2+2B,(c-d)
Igualando F'(c)=R'(c) e substituindo B
2c - a - b = A,(c-d)^2 +2,(c-a)(c-b)(c-d),
A,(c-d)^3 =(a+b)(c+d)-2l(ab+cdr),
A=(a+b)(c+d)-2(ab+cd)(c-d)^3

Passo 5

Por simetria (trocando crightarrow d) obtém-se
C=-(a+b)(c+d)-2(ab+cd)(c-d)^3
Para não surgir termo logarítmico na primitiva precisamos A=0 e C=0, isto é,
(a+b)(c+d)-2l(ab+cdr)=0
Além disso, se c=d o denominador vira (x-c)^4 e a primitiva não gera logaritmos mesmo sem essa relação.

Resposta

As primitivas de f são racionais se, e somente se,
c=d
ou
(a+b)(c+d)=2l(ab+cdr)

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