Determine condições sobre
para que as primitivas de
sejam funções racionais.
Resp.:
ou
Passo 1
O enunciado pede condições em
tais que toda primitiva de
seja uma função racional, ou seja, não contenha termos
nem
. Como a integração de um termo
gera
, devemos ao decompor em frações parciais anular os coeficientes dos simples polos em
e
.
Passo 2
Fazemos a decomposição em frações parciais padrão:
Multiplicando ambos os lados por
obtém-se a identidade
Passo 3
Para encontrar
e
avaliamos em
e
:
Avaliar em
:
Avaliar em
:
Passo 4
Para achar
derivamos a identidade do passo 2 e avaliamos em
.
De um lado,
De um lado,
então em
temos
Do outro lado, diferenciando
e avaliando em
só sobra
Igualando
e substituindo
dá
Passo 5
Por simetria (trocando
) obtém-se
Para não surgir termo logarítmico na primitiva precisamos
e
, isto é,
Além disso, se
o denominador vira
e a primitiva não gera logaritmos mesmo sem essa relação.
Resposta
As primitivas de
são racionais se, e somente se,
ou