A região delimitada pela curva y=x^3 e pelas retas y=0 e x=2 é rotacionada em torno do eixo y, descrevendo um sólido de revolução S. Escreva a integral para o cálculo do volume do sólido S :
a. Usando seção transversais;
b. Usando cascas cilíndricas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma região delimitada pela curva y = x^3 , pelas retas y = 0 e x = 2 . Essa região vai ser girada ao redor do eixo y , formando um sólido de revolução chamado S . Nosso objetivo aqui é escrever a integral que calcula o volume desse sólido de duas formas diferentes:
a. Usando seções transversais;
b. Usando cascas cilíndricas.
Para resolver isso, precisamos lembrar de como calcular volumes de sólidos de revolução utilizando integração, seja por métodos de discos/aros (seções transversais) ou por cascas cilíndricas. Vamos destrinchar cada método passo a passo.

Passo 2

Parte a: Usando seções transversais
Primeiro, vamos usar o método das seções transversais, também conhecido como método dos discos ou dos aros. Esse método é útil quando giramos uma região em torno de um eixo e queremos somar os volumes de pequenos discos ou aros que formam o sólido.
No nosso caso, como estamos girando em torno do eixo y , é conveniente expressar x em termos de y . A equação y = x^3 pode ser rearranjada para x = raiz[3]y .
A fórmula geral para o volume usando esse método quando giramos em torno do eixo y é:
V = pi integralymin^ymax [f(y)]^2 dy
Onde f(y) é a função que expressa x em termos de y .

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração. Como nossa região vai de x = 0 até x = 2 , e y = x^3 , os limites de y serão de y = 0 até y = 8 (já que 2^3 = 8 ).
Então, substituindo f(y) = raiz[3]y na fórmula do volume:
V = pi integral0^8 ( raiz[3]y )^2 dy = pi integral0^8 y^23 dy

Passo 4

Parte b: Usando cascas cilíndricas
Agora, vamos utilizar o método das cascas cilíndricas. Esse método é especialmente útil quando a rotação é em torno de um eixo e as “fatias” do sólido formam cilindros.
A fórmula geral para o volume usando cascas cilíndricas quando giramos em torno do eixo y é:
V = 2pi integrala^b x cdot f(x) dx
Onde:
  • x é a distância da casca até o eixo de rotação.
  • f(x) é a altura da casca, que, nesse caso, é baseada na função que define a região.

Passo 5

Identificando os limites de integração novamente, temos x variando de 0 a 2. A altura da casca é dada pela diferença entre a função superior e a inferior no intervalo, que aqui é de y = 0 a y = x^3 . Então, a altura f(x) = x^3 .
Substituindo na fórmula das cascas cilíndricas:
V = 2pi integral0^2 x cdot x^3 dx = 2pi integral0^2 x^4 dx

Resposta

a. Usando seções transversais:
V = pi integral0^8 y^23 dy
b. Usando cascas cilíndricas:
V = 2pi integral0^2 x^4 dx

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