A região delimitada pela curva
e pelas retas
e
é rotacionada em torno do eixo y, descrevendo um sólido de revolução
. Escreva a integral para o cálculo do volume do sólido
:
a. Usando seção transversais;
b. Usando cascas cilíndricas.
a. Usando seção transversais;
b. Usando cascas cilíndricas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma região delimitada pela curva
, pelas retas
e
. Essa região vai ser girada ao redor do eixo
, formando um sólido de revolução chamado
. Nosso objetivo aqui é escrever a integral que calcula o volume desse sólido de duas formas diferentes:
a. Usando seções transversais;
b. Usando cascas cilíndricas.
a. Usando seções transversais;
b. Usando cascas cilíndricas.
Para resolver isso, precisamos lembrar de como calcular volumes de sólidos de revolução utilizando integração, seja por métodos de discos/aros (seções transversais) ou por cascas cilíndricas. Vamos destrinchar cada método passo a passo.
Passo 2
Parte a: Usando seções transversais
Primeiro, vamos usar o método das seções transversais, também conhecido como método dos discos ou dos aros. Esse método é útil quando giramos uma região em torno de um eixo e queremos somar os volumes de pequenos discos ou aros que formam o sólido.
No nosso caso, como estamos girando em torno do eixo
, é conveniente expressar
em termos de
. A equação
pode ser rearranjada para
.
A fórmula geral para o volume usando esse método quando giramos em torno do eixo
é:
Onde
é a função que expressa
em termos de
.
Passo 3
Agora, vamos identificar os limites de integração. Como nossa região vai de
até
, e
, os limites de
serão de
até
(já que
).
Então, substituindo
na fórmula do volume:
Passo 4
Parte b: Usando cascas cilíndricas
Agora, vamos utilizar o método das cascas cilíndricas. Esse método é especialmente útil quando a rotação é em torno de um eixo e as “fatias” do sólido formam cilindros.
A fórmula geral para o volume usando cascas cilíndricas quando giramos em torno do eixo
é:
Onde:
-
é a distância da casca até o eixo de rotação. -
é a altura da casca, que, nesse caso, é baseada na função que define a região.
Passo 5
Identificando os limites de integração novamente, temos
variando de 0 a 2. A altura da casca é dada pela diferença entre a função superior e a inferior no intervalo, que aqui é de
a
. Então, a altura
.
Substituindo na fórmula das cascas cilíndricas:
Resposta
a. Usando seções transversais:
b. Usando cascas cilíndricas: