Diga se as integrais impróprias convergem ou divergem:
integral1^+infty d x(1+3 x)^3 / 2

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da integral imprópria
integral1^+infty dx(1+3x)^3/2
Este tipo de integral tem o limite superior infinito, então aplicamos o conceito de integral imprópria: verificamos se
limbto+inftyintegral1^bdx(1+3x)^3/2
existe e é finito (converge) ou não (diverge).

Passo 2

Para calcular a integral, fazemos a substituição
u = 1 + 3x, du = 3,dx Longrightarrow dx = du3
Quando x=1, u=4; quando xto+infty, uto+infty. Portanto
integral1^b dx(1+3x)^3/2 = integralu=4^u=1+3b 1u^3/2;du3 = 13integral4^1+3b u^-3/2,du

Passo 3

Calculamos a primitiva de u^-3/2:
integral u^-3/2,du = -2,u^-1/2
Logo, a antiderivada da nossa integral é
13l(-2,u^-1/2r) = -23,u^-1/2

Passo 4

Avaliamo-la no intervalo de u=4 até u=1+3b e, em seguida, tomamos bto+infty:
integral1^+inftydx(1+3x)^3/2 = limbto+infty l[-tfrac23u^-1/2r]4^1+3b = limuto+infty l(0r) - l(-tfrac23cdot 4^-1/2r) = 23cdot12 = 13
Como o resultado é finito, concluímos que a integral converge e vale tfrac13.

Resposta

A integral converge e
integral1^+inftydx(1+3x)^3/2 = 13

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