Calcule integral x^2(cos x+x sen x)^2 d x. Sugestão: Calcule a derivada de v(x)=-1cos x+x sen x. Use integração por partes.
(Resp.: sen x-x cos xcos x+x sen x+C )

Passo 1

O enunciado pede calcular
A sugestão é estudar a derivada de
e depois aplicar integração por partes. Vamos precisar de derivadas de funções compostas e da fórmula

Passo 2

Calcule a derivada de v(x). Defina
g(x)=cos x + xsen x, v(x)=-,g(x)^-1
Então
g'(x)=-sen x + sen x + xcos x = xcos x,
e
v'(x) =ddxl(-g^-1r) = g'(x)g(x)^2 = xcos x(cos x + xsen x)^2

Passo 3

Reescreva o integrando usando v'(x):
x^2(cos x + xsen x)^2 = x;x(cos x + xsen x)^2 = x;v'(x)cos x,
pois de v'(x)=xcos xg(x)^2 segue tfracxg(x)^2=tfracv'(x)cos x.

Passo 4

Aplique integração por partes em
, escolhendo
Então
e

Passo 5

Pela fórmula,
Isso dá

Passo 6

Para simplificar, escreva tg x=tfracsen xcos x e junte num só denominador cos x,[cos x + xsen x]. O numerador fica
-!x + sen xcos x + xsen^2x =sen xcos x + x(sen^2x-1) =sen xcos x - xcos^2x =cos x(sen x - xcos x)
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-xgcos x+tg x =cos x(sen x - xcos x)cos x,[cos x + xsen x] =sen x - xcos xcos x + xsen x

Resposta

sen x - xcos xcos x + xsen x+C

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