Calcule a integral.
integral0^pi cos x senh x d x

Passo 1

O enunciado pede a integral definida de 0 a pi da função cos x sinh x. O conteúdo envolvido é integração por partes, aplicando-a tanto à combinação de função trigonométrica quanto à hiperbólica.

Passo 2

Denotemos
I = integral cos x sinh x , dx
Fazendo integração por partes com
u = sinh x, dv = cos x,dx
resulta em
du = cosh x,dx, v = sin x
e portanto
I = sinh x ,sin x - integral sin x ,cosh x ,dx

Passo 3

Precisamos agora calcular integral sin x cosh x,dx. Novamente por partes, tomamos
u = cosh x, dv = sin x,dx
de onde
du = sinh x,dx, v = -cos x
Logo
integral sin x cosh x,dx = -cosh x cos x + integral cos x sinh x,dx = -cosh x cos x + I

Passo 4

Substituindo esse resultado em I = sinh x sin x - integral sin x cosh x,dx obtemos
I = sinh x sin x -l(-cosh x cos x + Ir) = sinh x sin x + cosh x cos x - I
Assim
2I = sinh x,sin x + cosh x,cos x Longrightarrow I = 12l(sinh x sin x + cosh x cos xr)

Passo 5

Usando a antiderivada I para avaliar a integral de 0 a pi, temos
integral0^picos x sinh x,dx =l[tfrac12l(sinh x sin x + cosh x cos xr)r]0^pi
Em x=pi: sinpi=0, cospi=-1 Rightarrow valor -tfrac12coshpi.
Em x=0: sin0=0, cos0=1, sinh0=0, cosh0=1 Rightarrow valor tfrac12.
Portanto o resultado é
-tfrac12coshpi ;-;tfrac12 ;=;-,coshpi + 12

Resposta

-coshpi + 12

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