Calcule a integral: integral 3 x^2-2x^3-x^2-6 x d x

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de 3x^2-2x^3-x^2-6x em relação a x. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente de frações parciais, que nos ajuda a simplificar integrais de funções racionais.

Passo 2

Primeiro, observamos que o denominador da fração é um polinômio de terceiro grau: x^3 - x^2 - 6x. Vamos fatorar esse polinômio para facilitar a decomposição em frações parciais.
Fatorando x^3 - x^2 - 6x:
x(x^2 - x - 6) = x(x - 3)(x + 2)
Então, o denominador fatorado é x(x - 3)(x + 2).

Passo 3

Agora, expressamos a fração original como a soma de frações parciais:
3x^2 - 2x(x - 3)(x + 2) = Ax + Bx - 3 + Cx + 2
Aqui, A, B e C são constantes que precisamos determinar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por x(x - 3)(x + 2) para eliminar os denominadores:
3x^2 - 2 = A(x - 3)(x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(x - 3)

Passo 5

Expandindo os termos do lado direito:
3x^2 - 2 = A(x^2 - x - 6) + B(x^2 + 2x) + C(x^2 - 3x)

Passo 6

Agora, agrupamos os termos semelhantes:
3x^2 - 2 = (A + B + C)x^2 + (-A + 2B - 3C)x - 6A

Passo 7

Comparando os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação, obtemos um sistema de equações:
A + B + C = 3 -A + 2B - 3C = 0 -6A = -2

Passo 8

Resolvendo o sistema:
Da terceira equação: -6A = -2 A = -2-6 = 13
Substituindo A = 13 na primeira equação:
13 + B + C = 3 Rightarrow B + C = 83
Substituindo A = 13 na segunda equação:
-13 + 2B - 3C = 0 Rightarrow 2B - 3C = 13

Passo 9

Temos agora:
B + C = 83 2B - 3C = 13
Vamos resolver esse sistema para encontrar B e C.
Multiplicamos a primeira equação por 2:
2B + 2C = 163
Subtraímos a segunda equação:
(2B + 2C) - (2B - 3C) = 163 - 13 Rightarrow 5C = 153 Rightarrow C = 3
Substituindo C = 3 na primeira equação:
B + 3 = 83 Rightarrow B = 83 - 93 = -13

Passo 10

Agora que temos A = 13, B = -13 e C = 3, podemos escrever a fração original como:
3x^2 - 2x(x - 3)(x + 2) = 13x + -13x - 3 + 3x + 2

Passo 11

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral 3x^2 - 2x^3 - x^2 -6x , dx = integral 13x , dx + integral -13x - 3 , dx + integral 3x + 2 , dx

Passo 12

Integrando:
= 13 ln|x| - 13 ln|x - 3| + 3 ln|x + 2| + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral de 3x^2-2x^3-x^2-6x , dx é:
13 ln|x| - 13 ln|x - 3| + 3 ln|x + 2| + C

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