Calcule a integral.
integral0^pi / 2(3 sen^2 t cos t i+3 sen t cos ^2 t j+2 sen t cos t k) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral vetorial
integral0^pi/2l(3sin^2tcos t,i+3sin tcos^2t,j+2sin tcos t,kr),dt
O conteúdo aqui é o cálculo de integral de função vetorial: basta integrar cada componente escalar separadamente. Vamos usar a substituição apropriada em cada caso.

Passo 2

Componente em i:
integral0^pi/23sin^2tcos t,dt
Fazendo u=sin t, du=cos t,dt, quando t=0 temos u=0 e quando t=pi/2 temos u=1. A integral vira
integral0^13u^2,du =3cdotu^33|0^1 =1

Passo 3

Componente em j:
integral0^pi/23sin tcos^2t,dt
Fazendo v=cos t, dv=-sin t,dt, quando t=0 temos v=1 e quando t=pi/2 temos v=0. A integral fica
integral1^03(-v^2),dv =3integral0^1v^2,dv =3cdotv^33|0^1 =1

Passo 4

Componente em k:
integral0^pi/22sin tcos t,dt
Usando sin tcos t=tfrac12sin(2t), o integrando é sin(2t) e
integral0^pi/2sin(2t),dt =-cos(2t)2|0^pi/2 =l(-tfraccospi2+tfraccos02r) =1+12 =1

Resposta

i+j+k

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