Determine o raio de convergência da seguinte série de potências:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o raio de convergência dessa série de potências:
Isso faz parte do conteúdo de Séries de Potências na matemática. Para resolver, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da nossa série. A série geral é da forma:
No nosso caso, o termo é:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência. Esse teste funciona assim: calculamos o limite do valor absoluto da razão entre o termo seguinte e o termo atual quando tende ao infinito. A fórmula é:
Se L < 1 , a série converge; se L > 1 , diverge; se L = 1 , o teste é inconclusivo.
Passo 4
Vamos calcular esse limite passo a passo. Primeiro, substituímos an+1 e an :
L = limn to infty | (-1)^n+12 (n+1) x^n+1(-1)^n2 n x^n |
Simplificando:
L = limn to infty | (-1)^n+1 x^n+1 cdot 2 n(-1)^n x^n cdot 2 (n+1) |
Os fatores 2 e (-1)^n se cancelam, ficando:
L = limn to infty | (-1) x cdot nn+1 | = limn to infty | x cdot nn+1 |
Como nn+1 tende a 1 quando n vai para o infinito, temos:
L = |x| cdot 1 = |x|
Passo 5
Para a série convergir, precisamos que L < 1 , ou seja:
|x| < 1
O raio de convergência R é o valor tal que |x| < R . Então, aqui: