Calcule a integral.
integral x^3+x-1x^3+1 d x

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada da função racional
integral x^3+x-1x^3+1,dx
O conteúdo envolvido é cálculo de integrais de funções racionais, que exige divisão polinomial e frações parciais.

Passo 2

Fazemos a divisão de polinômios
x^3+x-1x^3+1 =1+(x^3+x-1)-(x^3+1)x^3+1 =1+x-2x^3+1
Assim
integral x^3+x-1x^3+1,dx =integral 1,dx+integral x-2x^3+1,dx =x+integral x-2(x+1)(x^2-x+1),dx

Passo 3

Decompomos
x-2(x+1)(x^2-x+1) =Ax+1+Bx+Cx^2-x+1
Temos
x-2=A(x^2-x+1)+(Bx+C)(x+1)
Comparando coeficientes resulta
A=-1, B=1, C=-1,
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x-2x^3+1 =-1x+1+x-1x^2-x+1

Passo 4

Integramos a primeira parcela:
integral -1x+1,dx =-lnl|x+1r|

Passo 5

Para a segunda parcela escrevemos
integral x-1x^2-x+1,dx =integral tfrac12(2x-1)-tfrac12x^2-x+1,dx =tfrac12integral 2x-1x^2-x+1,dx -tfrac12integral 1x^2-x+1,dx
No primeiro termo use u=x^2-x+1, obtendo
tfrac12lnl(x^2-x+1r)
No segundo, note que
x^2-x+1=(x-tfrac12)^2+tfrac34,
então
integral 1(x-tfrac12)^2+(tfracraiz32)^2,dx =2raiz3arctan!l(2x-1raiz3r)
Multiplicando por -tfrac12
-1raiz3arctan!l(2x-1raiz3r)

Passo 6

Juntando tudo:
integral x^3+x-1x^3+1,dx =x-lnl|x+1r| +tfrac12lnl(x^2-x+1r) -1raiz3arctan!l(2x-1raiz3r) +C

Resposta

boxed x-lnl|x+1r| +12lnl(x^2-x+1r) -1raiz3arctan!l(2x-1raiz3r) +C

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