Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função racional e entāo calcule a integral.
integral113^1 raizxx^2+x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
integral113^1raizxx^2+x,dx
usando uma substituição que transforme o integrando numa função racional. Vamos eliminar a raiz para facilitar a integração.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = raizx,
que implica
x = t^2, dx = 2t,dt

Passo 3

Substituindo em raizxx^2+x,dx, temos
raizx=t, x^2+x=t^4+t^2=t^2(t^2+1), dx=2t,dt
Logo o integrando vira
tt^2(t^2+1)cdot2t,dt =2t^2t^2(t^2+1),dt =2t^2+1,dt
Também mudamos os limites:
x=113Rightarrow t=raiz113, x=1Rightarrow t=1
Assim a integral fica
integralraiz113^12t^2+1,dt

Passo 4

Sabemos que
integral2t^2+1,dt =2arctan(t)
Portanto
integralraiz113^12t^2+1,dt =2arctan(t)|raiz113^1 =2l(arctan(1)-arctan(raiz113)r)

Resposta

2l(tfracpi4-arctan(raiz113)r)

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