Seja
definida por
se x é ímpar, e
se x é par
a. f não é injetora, nem sobrejetora
b. f é sobrejetora, mas não injetora
c. fé bijetora
d. fé injetora, mas não sobrejetora
e. f não é função
a. f não é injetora, nem sobrejetora
b. f é sobrejetora, mas não injetora
c. fé bijetora
d. fé injetora, mas não sobrejetora
e. f não é função
Passo 1
O enunciado define a função
por
Queremos verificar se
é injetora e/ou sobrejetora, isto é, se é bijetora.
Passo 2
Verificação da injetividade. Precisamos mostrar que, se
, então
.
- Se
e forem ambos ímpares, escrevemos . Então
De
segue
e, portanto,
.
2. Se e
forem ambos pares, escrevemos
. Então
2. Se
De
segue
, logo
e
.
3. Se um é par e o outro é ímpar, não há empate de imagem porque a parte ímpar dá valor não-negativo e a parte par dá valor estritamente negativo. Logo, não podem coincidir imagens.
Concluímos que é injetora.
3. Se um é par e o outro é ímpar, não há empate de imagem porque a parte ímpar dá valor não-negativo e a parte par dá valor estritamente negativo. Logo, não podem coincidir imagens.
Concluímos que
Passo 3
Verificação da sobrejetividade. Dado um inteiro arbitrário
, queremos encontrar
tal que
.
- Se
, tome (ímpar). Então
- Se
, escreva com e tome (par). Então
Assim, para todo
existe
com
, logo
é sobrejetora.
Passo 4
Como
é injetora (Passo 2) e sobrejetora (Passo 3), segue que
é bijetora.
Resposta
c.
é bijetora.