Seja f: N Z definida por f(x)=x-12 se x é ímpar, e f(x)=-x2 se x é par
a. f não é injetora, nem sobrejetora
b. f é sobrejetora, mas não injetora
c. fé bijetora
d. fé injetora, mas não sobrejetora
e. f não é função

Passo 1

O enunciado define a função
fcolon Nto Z
por
f(x)= x-12,&se (x) é ímpar, -x2,&se (x) é par éíé
Queremos verificar se f é injetora e/ou sobrejetora, isto é, se é bijetora.

Passo 2

Verificação da injetividade. Precisamos mostrar que, se f(x1)=f(x2), então x1=x2.
  1. Se x1 e x2 forem ambos ímpares, escrevemos xi=2ki+1. Então
f(xi)=(2ki+1)-12=ki
De f(x1)=f(x2) segue k1=k2 e, portanto, x1=2k1+1=2k2+1=x2.
2. Se x1 e x2 forem ambos pares, escrevemos xi=2ki. Então
f(xi)=-2ki2=-ki
De f(x1)=f(x2) segue -k1=-k2, logo k1=k2 e x1=x2.
3. Se um é par e o outro é ímpar, não há empate de imagem porque a parte ímpar dá valor não-negativo e a parte par dá valor estritamente negativo. Logo, não podem coincidir imagens.
Concluímos que f é injetora.

Passo 3

Verificação da sobrejetividade. Dado um inteiro arbitrário yinZ, queremos encontrar xinN tal que f(x)=y.
  • Se y>=0, tome x=2y+1 (ímpar). Então
f(2y+1)=(2y+1)-12=y
  • Se y<0, escreva y=-m com m>0 e tome x=2m (par). Então
f(2m)=-2m2=-m=y
Assim, para todo yinZ existe xinN com f(x)=y, logo f é sobrejetora.

Passo 4

Como f é injetora (Passo 2) e sobrejetora (Passo 3), segue que f é bijetora.

Resposta

c. f é bijetora.

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