Calcule a integral usando a integração por partes.
integral arctg 4 t d t

Passo 1

Estamos calculando a integral integral arctan(4t),dt. O conteúdo aqui é a técnica de integração por partes, pois temos um produto implícito entre a função arctan(4t) e 1.

Passo 2

A fórmula de integração por partes é integral u,dv = u,v - integral v,du. Vamos escolher u = arctan(4t) e dv = dt.

Passo 3

Precisamos de du e v. Como u = arctan(4t), temos du = ddtl(arctan(4t)r),dt = 41 + (4t)^2,dt = 41 + 16t^2,dt E integrando dv = dt v = t.

Passo 4

Aplicando integração por partes: integral arctan(4t),dt = u,v - integral v,du = tarctan(4t) - integral t cdot 41 + 16t^2,dt

Passo 5

Agora resolvemos integral 4t1+16t^2,dt. Fazendo a substituição w = 1 + 16t^2 leva a dw = 32t,dt, logo 4t,dt = tfrac18dw. Assim: integral 4t1+16t^2,dt = 18integral 1w,dw = 18ln|w| + C = 18lnl(1+16t^2r) + C

Passo 6

Juntando tudo, a integral original fica integral arctan(4t),dt = tarctan(4t) - 18lnl(1+16t^2r) + C

Resposta

t,arctan(4t) - 18lnl(1+16t^2r) + C

Exercícios relacionados