Seja R um retângulo que tem 24 cm de perímetro. Unindo-se sucessivamente os pontos médios dos lados de R obtém-se um losango. Qual deve ser a medida do lado desse losango para que sua área seja máxima?

Passo 1

O enunciado diz que temos um retângulo R de perímetro 24 cm e que, ao unir sucessivamente os pontos médios dos lados de R, obtemos um losango. Queremos achar a medida do lado desse losango de modo que sua área seja máxima.
Conteúdo: geometria analítica (distância entre pontos), área de losango via diagonais e otimização com restrição x+y=12.

Passo 2

Sejam x e y os comprimentos dos lados do retângulo. Como o perímetro é 24 cm,
x+y=12
Num sistema de eixos, os pontos médios de dois lados adjacentes estão, por exemplo, em
l(tfracx2,0r) e l(x,tfracy2r). A distância entre eles é um lado do losango:
s = raizl(tfracx2-xr)^2 + l(0-tfracy2r)^2 = 12raizx^2+y^2

Passo 3

Para a área do losango usamos a fórmula em função das diagonais. As diagonais são os segmentos que ligam pontos médios opostos, de comprimentos x e y. Logo,
A = d1,d22 = x,y2

Passo 4

Com x+y=12, escrevemos
A(x)=x(12-x)2 = 12x - x^22
Para maximizar, derivamos:
A'(x)=12 - 2x2=6 - xLongrightarrow x=6
Então y=12-6=6; o retângulo ótimo é quadrado de lado 6 cm.

Passo 5

Substituindo x=y=6 em s=tfrac12raizx^2+y^2, obtemos
s = 12raiz6^2+6^2 = 12raiz72 = 3raiz2 cm

Resposta

A medida do lado do losango, para área máxima, é 3raiz2 cm.

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