Seja R um retângulo que tem 24 cm de perímetro. Unindo-se sucessivamente os pontos médios dos lados de R obtém-se um losango. Qual deve ser a medida do lado desse losango para que sua área seja máxima?
Passo 1
O enunciado diz que temos um retângulo
de perímetro
cm e que, ao unir sucessivamente os pontos médios dos lados de
, obtemos um losango. Queremos achar a medida do lado desse losango de modo que sua área seja máxima.
Conteúdo: geometria analítica (distância entre pontos), área de losango via diagonais e otimização com restrição .
Conteúdo: geometria analítica (distância entre pontos), área de losango via diagonais e otimização com restrição
Passo 2
Sejam
e
os comprimentos dos lados do retângulo. Como o perímetro é
cm,
Num sistema de eixos, os pontos médios de dois lados adjacentes estão, por exemplo, em
e
. A distância entre eles é um lado do losango:
Passo 3
Para a área do losango usamos a fórmula em função das diagonais. As diagonais são os segmentos que ligam pontos médios opostos, de comprimentos
e
. Logo,
Passo 4
Com
, escrevemos
Para maximizar, derivamos:
Então
; o retângulo ótimo é quadrado de lado
cm.
Passo 5
Substituindo
em
, obtemos
Resposta
A medida do lado do losango, para área máxima, é
cm.