Calcule a integral.
integral(e^t i+2 t j+ln (t) k) d t

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida de uma função vetorial
integrall(e^t,i+2t,j+ln(t),kr),dt.
O conteúdo aqui é integração de funções vetoriais, que se faz componente a componente. Precisamos usar integrais básicas e, no caso da componente ln(t), integração por partes.

Passo 2

Integramos a primeira componente, que é e^t:
integral e^t,dt = e^t + C1

Passo 3

Integramos a segunda componente, que é 2t:
integral 2t,dt = t^2 + C2

Passo 4

Para a terceira componente, ln(t), usamos integração por partes. Tomamos
u = ln(t)implies du = 1t,dt
e
dv = dtimplies v = t.
Então
integral ln(t),dt = tln(t) - integral tcdot1t,dt = tln(t) - integral 1,dt = tln(t) - t + C3

Passo 5

Agora montamos a integral vetorial juntando as três componentes e agrupando as constantes num vetor constante C:
F(t) = e^t,i + t^2,j + l(tln(t) - tr),k + C, C = C1,i + C2,j + C3,k

Resposta

boxed integrall(e^t,i+2t,j+ln(t),kr),dt = e^t,i + t^2,j + l(tln(t)-tr),k + C

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