Determine a derivada da função vetorial.
r(t)=(t sen(t), t^2, t cos (2 t))

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função vetorial
vec r(t) = l(tsen(t),,t^2,,tcos(2t)r).
O conteúdo que vamos usar é a derivada componente a componente, aplicando a regra do produto e, quando necessário, a regra da cadeia.

Passo 2

Para o primeiro componente r1(t)=tsen(t) usamos a regra do produto (uv)'=u'v+uv'. Tomando u(t)=t e v(t)=sen(t), temos
u'(t)=1, v'(t)=cos(t),
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r1'(t)=1cdotsen(t)+tcdotcos(t)=sen(t)+tcos(t)

Passo 3

O segundo componente é r2(t)=t^2. Aqui basta usar a regra da potência l(t^nr)'=n,t^n-1, então
r2'(t)=2,t

Passo 4

Para o terceiro componente r3(t)=tcos(2t) aplicamos novamente a regra do produto com u(t)=t e v(t)=cos(2t). Temos
u'(t)=1, v'(t)=-sen(2t)cdot2=-2sen(2t)
pela regra da cadeia. Portanto
r3'(t)=1cdotcos(2t)+tcdotl(-2sen(2t)r)=cos(2t)-2tsen(2t)

Resposta

vec r,'(t)=l(sen(t)+tcos(t),;2t,;cos(2t)-2tsen(2t)r)

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