Calcule a integral de superfície. , onde é a parte do cilindro que está entre os planos e no primeiro octante.
Passo 1
O enunciado pede a integral de superfície ,
onde é a porção do cilindro entre os planos e no primeiro octante.
Conteúdo: parametrização de superfície, cálculo de via produto vetorial e mudança de variável para integrar.
Passo 2
Parametrizamos o cilindro por
com (direção do eixo ) e (primeiro octante, ).
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
O elemento de área é
pois | rutimes rtheta| = raizcos^2theta+sin^2theta=1.
Passo 4
Na parametrização temos x=u, y=costheta, z=sintheta. Logo
z + x^2y = sintheta + u^2costheta,
e a integral vira
integral duplasigma(z+x^2y),dS =integralu=0^3!integraltheta=0^pi/2l(sintheta + u^2costhetar),dtheta,du