Calcule a integral de superfície.
integral duplasigma(z+x^2 y) d S, onde sigma é a parte do cilindro z^2+y^2=1 que está entre os planos x=0 e x=3 no primeiro octante.

Passo 1

O enunciado pede a integral de superfície
integral duplasigma(z + x^2y),dS,
onde sigma é a porção do cilindro y^2+z^2=1 entre os planos x=0 e x=3 no primeiro octante.
Conteúdo: parametrização de superfície, cálculo de dS via produto vetorial e mudança de variável para integrar.

Passo 2

Parametrizamos o cilindro por
r(u,theta) = l(u,costheta,sinthetar),
com uin[0,3] (direção do eixo x) e thetain[0,tfracpi2] (primeiro octante, y>=0,,z>=0).

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
ru = (1,0,0), rtheta = (0,-sintheta,costheta)
O elemento de área é
dS = l| rutimes rthetar|,du,dtheta =1;du,dtheta
pois | rutimes rtheta| = raizcos^2theta+sin^2theta=1.

Passo 4

Na parametrização temos x=u, y=costheta, z=sintheta. Logo
z + x^2y = sintheta + u^2costheta,
e a integral vira
integral duplasigma(z+x^2y),dS =integralu=0^3!integraltheta=0^pi/2l(sintheta + u^2costhetar),dtheta,du

Passo 5

Integramos primeiro em theta:
integral0^pi/2sintheta,dtheta = 1, integral0^pi/2costheta,dtheta = 1,
portanto
integral0^pi/2l(sintheta + u^2costhetar),dtheta =1 + u^2

Passo 6

Agora integramos em u:
integral0^3(1+u^2),du =l[u + tfracu^33r]0^3 =3 + tfrac273 =3 + 9 =12

Resposta

O valor da integral de superfície é 12.

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