Determine a ordem do polo de f em a e calcule res (f, a) onde
f(z)=1-e^3 zz^4, a=0;

Passo 1

O enunciado nos dá a função
e pede a ordem do polo em e o resíduo .
O conteúdo que vamos usar é a expansão em série de Taylor de em torno de para obter a forma de Laurent de e, daí, ler a ordem do polo e o coeficiente de .

Passo 2

Começamos expandindo
e^3z=sumn=0^infty(3z)^nn! =1+3z+92z^2+92z^3+8124z^4+cdots
Logo,
1-e^3z =-l(3z+92z^2+92z^3+8124z^4+cdotsr)

Passo 3

Agora dividimos por z^4 para obter a série de Laurent de f:
f(z) =1-e^3zz^4 =-3z+tfrac92z^2+tfrac92z^3+tfrac8124z^4+cdotsz^4 =-3,z^-3-92,z^-2-92,z^-1-278+cdots

Passo 4

Na forma de Laurent acima, o maior expoente negativo é , o que significa que tem um polo de ordem em .
O resíduo é o coeficiente de , que aqui é

Resposta

Ordem do polo:

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