Calcule a integral.
integral1^2(t^2 i+t raizt-1 j+t sen pi t k) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de uma função vetorial
integral1^2l(t^2i+traizt-1,j+tsin(pi t),kr),dt.
O conteúdo envolvido é integral de cada componente separadamente, usando regra de potência, substituição e integração por partes.

Passo 2

Para a componente i temos
integral1^2t^2,dt = l[tfrac13t^3r]1^2 = tfrac13(2^3-1^3) = tfrac73

Passo 3

Para a componente j calculamos
integral1^2traizt-1,dt
Fazemos u=t-1, logo t=u+1 e du=dt. Quando t=1 tem u=0, e quando t=2 tem u=1. A integral vira
integral0^1(u+1),u^1/2du = integral0^1l(u^3/2+u^1/2r)du = l[tfrac25u^5/2+tfrac23u^3/2r]0^1 = tfrac25+tfrac23 = tfrac1615

Passo 4

Para a componente k usamos integração por partes em
integral1^2tsin(pi t),dt.
Seja u=t e dv=sin(pi t),dt. Então du=dt e v=-tfrac1picos(pi t). Assim,
integral tsin(pi t),dt = u,v - integral v,du = -tcos(pi t)pi + 1piintegral cos(pi t),dt = -tcos(pi t)pi + sin(pi t)pi^2
Avaliando de 1 a 2:
em t=2 vem -tfrac2cos(2pi)pi+0=-tfrac2pi,
em t=1 vem -tfrac1cos(pi)pi+0=+tfrac1pi.
Logo o valor da integral é
-2pi-1pi =-3pi

Resposta

integral1^2l(t^2i+traizt-1,j+tsin(pi t),kr),dt =73,i+1615,j-3pi,k

Exercícios relacionados