Utilize coordenadas esféricas para calcular o volume da parte da bola tau <= 3 que está entre os cones varphi=pi / 6 e varphi=pi / 3.

Passo 1

O enunciado pede o volume da porção da esfera de raio 3 que fica entre os cones definidor por varphi=pi/6 e varphi=pi/3. O conteúdo aqui é integração tripla em coordenadas esféricas. Vamos usar as variáveis (rho,varphi,theta), com 0<=rho<=3, pi/6<=varphi<=pi/3 e 0<=theta<=2pi, e o elemento de volume dV=rho^2sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta.

Passo 2

Escrevemos a integral do volume como
V=integraltheta=0^2piintegralvarphi=pi/6^pi/3integralrho=0^3rho^2sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta

Passo 3

Integramos primeiro em rho:
integral0^3rho^2,drho=l[rho^33r]0^3=273=9

Passo 4

Agora a integral em varphi e theta separa-se, pois não há theta no integrando além dos limites constantes. Calculamos
integralvarphi=pi/6^pi/3sinvarphi,dvarphi=l[-cosvarphir]pi/6^pi/3=(-cos(pi/3)) -(-cos(pi/6))=raiz32-12,
e
integral0^2pidtheta=2pi

Passo 5

Multiplicando tudo temos
V=9timesl(raiz32-12r)times2pi=9pi(raiz3-1)

Resposta

9pi(raiz3-1)

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