Calcule a integral
integral|z|=1 e^-zz^2-2 z+2 d z

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral complexa! O exercício pede para calcular a integral de e^-zz^2-2 z+2 ao redor do círculo onde |z| = 1 . Aqui, estamos lidando com análise complexa, especificamente integrais de contorno usando o teorema dos resíduos. Para resolver isso, vamos precisar identificar os polos da função dentro do contorno dado e calcular os resíduos nesses polos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os polos da função e^-zz^2-2 z+2 . Os polos são os valores de z que tornam o denominador zero, ou seja, resolvemos z^2 - 2z + 2 = 0 .

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática z^2 - 2z + 2 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:
z = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 1 cdot 22 = 2 pm raiz4 - 82 = 2 pm raiz-42 = 2 pm 2i2 = 1 pm i
Então, os polos são z = 1 + i e z = 1 - i .

Passo 4

Agora, precisamos verificar quais desses polos estão dentro do contorno |z| = 1 . Calculamos o módulo de cada polo:
|1 + i| = raiz1^2 + 1^2 = raiz2 approx 1,414
|1 - i| = raiz1^2 + (-1)^2 = raiz2 approx 1,414
Como raiz2 > 1 , ambos os polos estão fora do círculo |z| = 1 .

Passo 5

Segundo o teorema dos resíduos, se não há polos dentro do contorno, a integral ao redor desse contorno é zero. Ou seja, se não há resíduos dentro do caminho de integração, a integral também não capta nenhuma contribuição dos resíduos.

Resposta

A integral é igual a zero.

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