Calcule a integral.
integral cos theta cos ^5(sen theta) d theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral costheta ,cos^5l(sinthetar),dtheta
Este é um problema de mudança de variável (substituição) seguido de uma integração de potência de cosseno.

Passo 2

Fazemos a substituição usual quando vemos sintheta dentro de uma função e costheta,dtheta multiplicando. Definimos
u = sintheta, du = costheta,dtheta

Passo 3

Com u=sintheta a integral em theta vira uma integral em u:
integral costheta ,cos^5l(sinthetar),dtheta = integral cos^5(u),du

Passo 4

Para integrar integral cos^5(u),du usamos a identidade cos^5u = cos^4ucdotcos u = (1-sin^2u)^2cos u e nova substituição v=sin u, dv=cos u,du:
integral cos^5u,du = integral (1-v^2)^2,dv = integral l(1 - 2v^2 + v^4r),dv = v - 23v^3 + 15v^5 + C

Passo 5

Voltando às variáveis originais temos v=sin u e u=sintheta, logo
v = sin(sintheta)
Portanto a primitiva é
sinl(sinthetar) - 23,sin^3l(sinthetar) + 15,sin^5l(sinthetar) + C

Resposta

integral costheta,cos^5(sintheta),dtheta = sinl(sinthetar) - 23,sin^3l(sinthetar) + 15,sin^5l(sinthetar) + C

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