Considere L(f(t))=F(s)=1s(s^2-4 s+5). Determine f(t) usando:
Convolução

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de
F(s)=1sl(s^2-4s+5r)
usando a propriedade de convolução da transformada de Laplace. Para isso, vamos escrever F(s) como produto de duas funções cuja inversa conhecemos.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
s^2-4s+5=(s-2)^2+1,
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F(s)=1s;cdot;1(s-2)^2+1
Chamando
F1(s)=1s, F2(s)=1(s-2)^2+1,
sabemos que
L^-1F1(s)=f1(t)=1, L^-1F2(s)=f2(t)=e^2tsin t

Passo 3

Pela propriedade de convolução,
f(t)=l(f1*f2r)(t) =integral0^tf1(t-tau),f2(tau),dtau =integral0^t1cdot e^2tausintau,dtau

Passo 4

Precisamos calcular
integral e^2tausintau,dtau
Usando a fórmula
integral e^atausin(btau),dtau =e^ataua^2+b^2l(asin(btau)-bcos(btau)r)+C,
com a=2 e b=1, obtemos
integral e^2tausintau,dtau =e^2tau5l(2sintau-costaur)+C
Avaliar de tau=0 até tau=t
integral0^te^2tausintau,dtau =e^2t5(2sin t-cos t) -15l(2sin0-cos0r) =e^2t5(2sin t-cos t)+15

Passo 5

Portanto, a função no domínio do tempo é
f(t) =15+e^2t5l(2sin t-cos tr)

Resposta

f(t)=15+e^2t5l(2sin t-cos tr)

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