Calcule a integral.
integralpi / 6^pi / 2 cotg^3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integralpi/6^pi/2 cot^3 x ,dx
O conteúdo é integração de potências de funções trigonométricas. Vamos usar a identidade
cot^2 x = csc^2 x - 1
para reescrever o integrando e depois encontrar a primitiva por técnicas usuais (substituição e integral de cot x).

Passo 2

Usando
cot^3 x = cot x,cot^2 x = cot x,(csc^2 x - 1),
temos
integralpi/6^pi/2 cot^3 x,dx = integralpi/6^pi/2cot x,csc^2 x,dx ;-;integralpi/6^pi/2cot x,dx

Passo 3

Para
integral cot x,csc^2 x,dx
faça u = csc x, então du = -csc x,cot x,dx. Observe que
cot x,csc^2 x,dx = csc xl(cot x,csc x,dxr) = -csc x,du = -u,du
Logo
integral cot x,csc^2 x,dx = -integral u,du = -tfracu^22 = -tfraccsc^2 x2

Passo 4

A integral
integral cot x,dx
é clássica:
integral cot x,dx = lnl|sin xr|

Passo 5

Com isso, uma primitiva de cot^3 x é
F(x) = -tfraccsc^2 x2 ;-;lnl|sin xr|

Passo 6

Avalie nos limites:
Fl(tfracpi2r) = -tfrac12,, Fl(tfracpi6r) = -tfrac42 - lnl(tfrac12r) = -2 + ln2
Portanto
integralpi/6^pi/2cot^3 x,dx = Fl(tfracpi2r)-Fl(tfracpi6r) = l(-tfrac12r)-l(-2+ln2r) = tfrac32 - ln2

Resposta

32 - ln2

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