Calcule as seguintes integrais utilizando substituição:
integral raiz3 x-2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral raiz3x - 2, dx. Esse exercício faz parte do estudo de Cálculo Integral, especificamente utilizando o método de substituição. Para resolver, vamos precisar entender como escolher uma substituição adequada que simplifique a integral e facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é substituição na integração. Substituição é uma técnica que simplifica uma integral complexa transformando-a em uma mais fácil de resolver. Basicamente, escolhemos uma parte da expressão para substituir por uma nova variável, facilitando os cálculos.

Passo 3

No nosso caso, temos a integral integral raiz3x - 2, dx. Vamos escolher uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz. Vamos definir:
u = 3x - 2
Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir dx na integral. Calculando a derivada:
dudx = 3 Rightarrow du = 3, dx Rightarrow dx = du3

Passo 4

Substituindo u e dx na integral original, temos:
integral raizu cdot du3 = 13 integral u^1/2, du
Agora, vamos integrar u^1/2 . A integral de u^n em relação a u é:
integral u^n, du = u^n+1n+1 + C
Aplicando isso para n = 12 :
13 cdot u^3/23/2 + C = 13 cdot 23 u^3/2 + C = 29 u^3/2 + C

Passo 5

Finalmente, vamos voltar à variável original x substituindo u = 3x - 2 :
29 (3x - 2)^3/2 + C

Resposta

A integral integral raiz3x - 2, dx é igual a:
29 (3x - 2)^3/2 + C

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