Escreva a função em termos das funções degrau e calcule sua transformada de Laplace:
f(t)=lll0, & se 0 <= t<a 1, & se & a <= t<b 0, & se & t >= b

Passo 1

O enunciado dá uma função em partes
f(t)= 0, &0<= t<a, 1, &a<= t<b, 0, &t>= b,
e pede (i) representá-la com as funções de degrau de Heaviside e (ii) calcular sua transformada de Laplace. Vamos usar a definição de função de degrau
;u(t-c)=0,&t<c,1,&t>= c,
e depois aplicar propriedades da transformada de Laplace.

Passo 2

Para montar f(t) com degraus, note que ela “liga” em t=a e “desliga” em t=b. Assim, para t<a temos zero, para t>= a soma-se 1, e para t>= b subtrai-se 1. Logo
f(t)=u(t-a)-u(t-b)

Passo 3

Lembrando que a transformada de Laplace de uma combinação linear é a combinação linear das transformadas, temos
Lf(t) =Lu(t-a)-Lu(t-b)

Passo 4

Usamos a propriedade de descolamento no tempo:
Lu(t-c)(s) =integral0^inftyu(t-c)e^-st,dt =integralc^inftye^-st,dt =e^-css
Portanto
Lu(t-a) =e^-ass, Lu(t-b) =e^-bss

Passo 5

Substituindo na combinação linear, obtemos
Lf(t) =e^-ass-e^-bss =e^-as-e^-bss

Resposta

f(t)=u(t-a)-u(t-b), Lf(t)(s)=e^-as-e^-bss

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